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1.中高速排水型船舶方尾通气特性与静水阻力研究

作者：王慧;余海廷;王世鹏;朱仁传

作者单位：武汉第二船舶设计研究所;上海交通大学

关键词：中高速排水型船舶;高阶面元法;方尾通气;方尾自由面条件;兴波阻力

　　摘 要：中高航速（弗劳德数 Fr>0.4）的排水型船舶通常采用方尾形式，其尾部流动随航速的提高不断发生变化。方尾流 动中黏性与强非线性的影响导致方尾船舶通气特性的理论分析与数值计算困难，这也成为了方尾船舶兴波阻力数值求解的难 点与重点问题。该文基于高阶 Rankine 面元法，采用线性自由面条件分别结合 3 种不同的方尾自由面条件求解 DTMB5365 船的兴波阻力、尾流波切与自由面波形数值结果。其次，该文采用 H-H 方法、Doctors 公式与 CFD 方法研究 NPL3b 单体船 与双体船的方尾通气特性。最后，基于该文开发的高阶面元法结合 4 参数 Doctors 公式，提出了一种同时适用于尾板入水和 脱水情况的改进方尾自由面条件，以某渔政船为研究对象对比分析 CFD 数值结果和试验结果，验证了该方法的准确性。  

　　0 引 言

　　随着航速提高，船舶所受流体垂向支持力的比重 与作用位置变化，其航行姿态也发生改变[1] 。从设计 航速与航行状态出发，将弗劳德数Fr∈(0.2, 1.0)时的船舶归为中高速船舶，可进一步细分为中高速排水型 船舶与高速滑行艇[2] 。

　　Fr>0.4的中高速排水型船舶通常采用方尾形式， 其尾部流动随航速提高不断变化。方尾船高速航行 时，尾部水流从方尾底缘切向分离，在船后形成鸡尾 流[3] 。中高速方尾船舶移动兴波的数值计算一直是具 有挑战性和工程实用价值的研究课题，其焦点在于方 尾流动影响的处理。关于方尾绕流模拟与方尾构型对 船舶阻力影响的研究至今仍是阻力研究的重要分支。

　　方尾型船舶兴波求解的困难在于方尾流动数 学模型的建立、方尾边界条件及其相关数值计算的 处理。Rankine面元法求解中高速方尾船舶兴波问题 主要可分为2种手段：一种是结合方尾影响的修正 方法，包括虚长度法与开式尾-尾流特区法；另一 种是额外施加方尾自由面条件以模拟方尾流动。 Sireli等[4] 基于Dawson理论的面元法研究了高速船 方尾效应对阻力的影响，将方尾流动分为浸湿尾 部、部分浸湿与完全干尾3种状态。卢晓平等[5] 将 Dawson方法用于高速方尾船舶兴波阻力计算，采用 开式尾-尾流特区-静力修正法以修正方尾流动的 影响，结果表明该方法能够较好地模拟方尾后的波 形。冯大奎[6] 首次提出采用时域直接边界元法求解 船舶兴波，基于Rankine源方法结合虚长度方法计算 方尾船舶的兴波阻力。Mctaggart [7] 同样采用虚长度法 与Rankine面元法相结合的方式处理方尾流动问题。

　　Nakos等[8] 采用Rankine源面元法，结合二次B 样条基函数表达面元上的速度势，提出了库塔类型 的方尾自由面条件以模拟高速船方尾流动的影响。 高高等[9-10] 推导了一种方尾处光滑分离的方尾自由 面条件，基于高阶面元法探讨了NPL高速排水型方 尾船舶兴波波形的数值模拟与兴波阻力的求解问 题，并将该方法拓展到高速双体船的兴波计算中， 结果表明该方尾边界条件与相应的数值处理简单 且有效。邹璐[11] 基于非均匀有理B样条的高阶 Rankine面元法，计算了NPL单体船和双体船的兴波 阻力及波形，其中自由面采用奇点上置与配置点移 动的方法满足辐射条件，方尾处施加流体光滑分离 的自由面条件。尹巍[12] 将该方法推广应用到高速方 尾三体船的兴波计算中。Tarafder等[13] 提出改进的 Dawson法，并应用于高速方尾船的兴波计算。Saha 等[14] 同样基于该方法采用分区域划分自由面网格、 方尾后的自由面网格独立生成的方式，并在方尾处 施加压强等于大气压、波高等于尾板下缘垂向坐标 这2个自由面条件，以模拟方尾流动。王中等[15] 基 于Rankine源方法，在贴近方尾后方的自由面处施加 方尾处波高与底部边缘相同的边界条件以考虑方 尾流动的影响，计算DTMB5415船型得到的兴波波 形比较合理，数值结果表明Fr>0.3时计算应考虑姿 态对阻力结果的影响。周利兰[16] 以一种任意阶的广 义边界元法对NPL高速排水型单体船、双体船与三 体船的兴波波形及中近场尾浪进行了数值模拟，采 用近远域相结合的方法计算船舶远场尾浪的传播。 Mola等[17] 采用混合欧拉-拉格朗日法结合自适应网 格加密方法开展了全非线性兴波计算研究，详细探 讨了方尾流动问题中干尾与湿尾的数值处理手段。

　　基于此，本文针对中高速排水型船舶移动兴波 与阻力问题，首先基于Rankine面元法结合源面抬升 方法处理奇异积分，分别采用3种不同形式的方尾 自由面条件施加在贴近方尾后的自由面节点处，计 算DTMB5365单体船的移动兴波，并与计算流体力 学（CFD）方法获得的波形结果进行对比。其次， 采用H-H方法、Doctors公式与CFD方法对比研究 NPL3b单体船与双体船的方尾通气特性，基于高阶 Rankine面元法结合4参数Doctors公式，提出一种同 时适用于尾板入水与尾板脱水情况的改进方尾自 由面条件。最后，以黏性CFD多相流模拟与叠模流 模拟方法计算的渔政船兴波阻力为对比基准，对比 本文高阶Rankine面元法与CFD方法计算的阻力结 果和模型试验结果，验证该改进方尾自由面条件的 准确性与可靠性。

　　1 Rankine面元法

　　1.1 定常兴波势的初边值问题

　　选取均匀流作为基本流动，设φs 为船舶移动兴 波引起的定常速度势，参考坐标系下兴波速度势与 时间项无关。 ( ) s φ x, y,z 满足边值条件，即

　　式中：Ω 为流域； f S 为自由面边界； b S 为物面边 界；上标“~”为兴波波面； S∞ 为无穷远边界；U为航速；x、y和z为源点坐标值； s ζ 为自由面升高； g为重力加速度；n 为单位法向量；O 为小量。

　　兴波速度势满足拉普拉斯方程；物面条件为不 可穿透条件；辐射条件保证上游无波。自由面的非 线性边界条件与自由面边界位置未知是造成定常 兴波速度势求解困难的2个因素，本文采用自由面 条件线性化方法求解上述问题。

　　考虑简化的线性边界条件，即基于微幅兴波假 定略去自由面边界条件中的非线性项，合并运动学 与动力学边界条件，同时消去波高项，得到联合线 性化自由面条件，即

　　求解式(2)得到兴波速度势，根据伯努利方程， 计算相对于大气压的流场压力P，即

　　式中： ρ 为流体密度。

　　根据压力积分法求解作用于船舶重心的水动 力以及力矩，即

　　式中：Fm 为x、y和z向所受的水动力（m=1, 2, 3）和 力矩（m=4, 5, 6）； b S 为船舶平均湿表面；r 为面元 矢径； gr 为重心矢径；s为面元面积。

　　对x方向的水动力 F1 进行无因次化处理，得到 兴波阻力系数Cw ，即

　　根据自由面动力学条件可计算自由面升高，即

　　1.2 边界积分方程

　　Rankine面元法（Rankine Panel Method，RPM） 以1/r（r为场点与源点的距离）为格林函数，又被 称作Rankine源法或简单格林函数法，需同时在物面 和自由面分布奇点。根据奇点选取的不同，边界积 分方程有源偶混合分布和源分布2种。移动兴波自 由面条件包含速度势的一阶和二阶导数，采用源分 布形式更便于数值求解。在物面和自由面边界上布 置强度为σ 的Rankine源，则计算场点 p 速度势的积 分方程为

　　式中：q 为源点；σ (q) 为源点强度； pq r 为场点 p 与 源点q 距离； q s 为离散面元面积。

　　场点 p 的速度势梯度可表示为

　　采用高阶面元法对物面和自由面边界进行离 散，得到按节点离散后的边界积分方程，即

　　式中：Nb 和 Nf 为物面和自由面节点数；Aij 为边界 积分方程影响系数； Bi 为右端项。

　　本文在中高速排水型船舶移动兴波计算时采 用双二次九节点等参单元描述离散面元。图1为本 文采用的九节点等参高阶面元法的示意图，控制点 为单元的角点，相邻单元间共用顶点，这保证了物 理量在边界上的连续性。采用形函数 N (ξ ,η ) 描述 几何与变量在曲面上的分布，两者满足相同形式的 插值函数[18] 。在单元内引入形函数（又称插值函数） ( , ) Nk ξ η （k为单元内节点编号），空间曲面面元的 节点经过坐标变换（式(10)），可将物理空间( x, y,z) 中的四边形单元转化为参数平面(ξ ,η ) 中的正方形 单元。

　　在等参单元中，曲面上物理量的插值公式与几 何坐标变换采用相同的形函数，即在每个单元内， 任意位置处的物理量，如速度势或速度势方向导数 等，都可表示为二次形函数和节点变量乘积的线性 叠加，如

　　式中：αi 为立体角；δ ij 为狄拉克函数；Ne为边界总 面元数；e为面元编号；I(e, k)为单元e内的第k个节 点在总节点序列中的编号； i n 为第i个面元的法向导 数； J (ξ,η ) 为雅可比行列式； i z 为垂向坐标。

　　式(9)等号右端项 Bi 的表达式为

　　1.3 积分奇异性和辐射条件的数值处理

　　影响系数积分计算过程中，场点与源点重合 时，Rankine源格林函数及其导数趋于无穷。本文采 用源面抬升方法处理奇异积分，如图2所示，配置 点（场点）保持在自由面位置不变，将所有自由面 源面相对于场点抬升dz高度，以此消除积分的奇异 性。同时，源点上置方法可有效抑制数值色散问题， 提高数值精度。本文根据高高[19] 的研究，选取抬升 距离为0.5～1.5倍的网格纵向长度。

　　1.4 3种方尾自由面条件

　　本文基于Rankine面元法结合方尾自由面条件 计算船舶移动兴波时，未浸湿的尾封板不布置面 元，方尾后的自由面网格独立于其他部分生成，以 便于处理方尾自由面网格与面元节点处的边界条 件。方尾周围典型的自由面网格如图3所示。本文 研究中采用Rankine面元法结合修正的方尾自由面 条件计算中高速方尾排水型船舶兴波阻力，可称其 为方尾自由面条件处理方法（Transom stern，TS）。

　　根据不同的方尾自由面条件，本文分别采用3 种边界条件形式处理：

　　（1）TS-A方法：方尾后的流动在方尾边线分 离，即方尾后的自由面波高与尾板边沿垂向坐标相 等，表达式为

　　式中： ( ) tr ζ x , y 为方尾处自由面的波高； ( ) tr T T z x , y 为尾板边沿高度；下标“T”为方尾位置。需要注 意的是，TS-A方法对应的自由面条件只需施加在方 尾后自由面的第一排节点。

　　（2）TS-B方法：Nakos等[8] 基于Rankine面元法 研究了线性自由面条件下的方尾船舶尾流流动，并 提出了一种单独在方尾处施加切向光滑分离的边 界条件，其表达式为

　　尾部流动分离点 T x = x 处的波高 ( ) tr ζ x , y 与尾 板下缘的垂向坐标相等，水流沿船体尾部纵向斜率 流出，满足光滑分离的条件。根据线性自由面条件， 结合式(15)波高条件，推导方尾处联合自由面条件为

　　式中：φxx 为速度势偏x方向的二阶导数；Δx 为方尾 后自由面的纵向网格长度。在数值处理中，贴近方 尾处的第一列配置点满足波高条件，第二列配置点 满足联合自由面条件。

　　（3）TS-C方法：采用高高等[9] 提出的处理方 法，考虑流动在方尾边缘分离的情况。在方尾近后 方的自由面处将波高对方尾下缘点作泰勒展开，再 结合差分近似处理获得方尾边界条件，即

　　式中：φx 为速度势偏x方向的一阶导数。

　　在兴波阻力计算中考虑静力修正项 WHS R 以平 衡尾部脱水的影响，表达式为

　　式中： 0 S 为平均湿表面面积； 0 p 为压强； x n 为法 向的x方向分量； T S 为吃水对应湿表面面积； B 为 船体尾部宽度。

　　自由面速度势二阶导数的处理会直接影响数 值计算的准确性和稳定性。本文基于分布源法，通 过格林函数的求导解析计算自由面上的速度分布， 采用数值差分方法求解速度势的二阶导数。通过复 合函数求导法则，将流场速度的偏导数求解问题转 化为对参数坐标的偏导数计算。为满足上游无波条 件，本文在纵向采用4点迎风差分格式、在横向采 用中心差分格式以计算速度势的空间导数。

　　2 数值结果与分析

　　2.1 DTMB5365数值结果

　　本文选择R/V Athena船型验证本文数值方法 的准确性。R/V Athena船是一艘高速方尾军舰，早 期在David Taylor Model Basin水池进行相关模型 试验，也被称为DTMB5365船型[20] ，其主要参数 如表1所示。

　　图4所示为Rankine面元法与CFD方法计算所需 船体网格。在高阶RPM中，DTMB5365船体由1 008 个九节点面元离散；CFD方法中，所有计算域的网 格数为145万。

　　图5为本文数值程序计算的DTMB5365固定模 兴波阻力与试验结果[20] 的对比，图中DB为叠模流 模拟（Double Body）。由图中可知，相比于试验数 据，采用方尾自由面边界条件的高阶面元法的计算 结果较Tarafder等[13] 采用叠模流动线性化方法的结 果更为准确。在高航速阶段，2种方法计算的兴波 阻力结果均与试验值存在偏差，这可能是因为方尾 流动对兴波阻力的影响比较显著。在Fr范围 内，3种不同自由面边界条件所对应的兴波阻力结 果存在细微差别；高航速时则基本吻合一致，但和 Tarafder等[13] 结果及试验误差均较大，这可能是试 验兴波阻力结果的处理方式造成的差异。

　　图6给出了CFD数值方法计算的总阻力 RT 结果 与试验值[20] 的对比。由图中可以看出：通过CFD方 法获得的数值结果与试验数据吻合良好。

　　图7是本文采用高阶Rankine面元法结合3种不 同方尾边界条件与CFD方法计算得到的DTMB5365 方尾后中心线的波切结果对比，图中L为船长。整 体上，高阶RPM的数值结果与CFD模拟结果吻合良 好；在Fr范围内，3种边界条件获得的结果存 在一定偏差，这与NPL3b船的研究结论一致；随着 航速增加，3种方尾自由面边界条件对应的波切结 果基本一致。

　　图8为高阶Rankine面元法与CFD数值模拟方法 计算的鸡尾流高度对比，图中 HRT 为鸡尾流高度最 大值。总体上看，高阶RPM结合方尾边界条件和 CFD方法获得的鸡尾流波高趋势一致。接近尾流高 度峰值时，Fr≈0.41，TS-C方法的结果更接近CFD 结果。当Fr∈(0.6, 0.8)，DTMB5365方尾后鸡尾流 高度受Fr的影响较小。

　　图9是DTMB5365船型在不同航速时的移动兴 波自由面波形，图中显示：高阶面元法（TS-C）计 算结果与CFD方法的结果基本吻合；2种方法模拟 的尾流区域高度吻合；兴波的横波波长随航速增加 而增大。

　　2.2 方尾通气特性研究

　　Huan等[21] 基于三维面元法结合湿-干尾模型计 算分析了高速方尾船的兴波问题，提出了描述方尾 波面升高随航速变化的表达式，将典型的方尾流动 状态分为2种：当船体Fr小于临界弗劳德数时，方 尾处于部分浸湿状态，即尾板入水情况；船体Fr大

　　于临界弗劳德数时，尾板处于脱水状态，即干尾流 动模型。具体公式为

　　式中： * ζ 为船舶相对于静水状态时方尾的未浸湿高 度；T为静浮状态（零航速）时方尾吃水；F Lr 为船 长弗劳德数； * F Tr 为临界弗劳德数。

　　Doctors等[22] 根据系列模型试验研究，采用最小 二乘法拟合参数，提出了用于描述方尾通气参数 ηdry 的公式，即

　　式中： 为方尾吃水雷诺数；ν 为水的 运动黏性系数；Doctors模型试验覆盖的宽度吃水比范围为1≤ B / T ≤ 4；C1 、C2 、C3和C4 在2参数、3 参数和4参数时的取值如表2所示。

　　下面比较验证H-H公式与Doctors公式计算的 准确性，由于缺乏相关方尾通气试验测量结果作为 基准数据，本文采用黏流CFD数值模拟方法获得的 方尾通气参数结果为验证基准。基于CFD数值模拟 中高速方尾船舶绕流，类比Doctors公式计算通气参 数的定义，根据航行时船舶方尾中心线处的吃水 ( ) W F Tr 与静浮状态（零航速）时方尾吃水T的比值， 确定方尾通气参数ηdry-RANS-1D（式(21)），本文称之为 一维方法。

　　如图10所示，获得通气参数的另一种方法是基 于面积计算，根据航行时船舶尾封板浸湿面积 WT S 与静浮状态时（零航速）尾封板浸湿面积 TT S 的比 值 ， 基 于 RANS 模 拟 计 算 确 定 方 尾 通 气 参 数 ηdry-RANS-2D （式(22)），可称其为二维方法。

　　式中： xi n 为第i个单元的纵向法向分量； i a 为第i个 单元的流体体积分数； i S 为控制单元的面积； transom x 为尾封板位置。

　　图11给出的是CFD方法模拟获得的NPL3b单体 船与双体船的方尾浸湿面积的对比，图中S为方尾 面积。由图中可以看出：方尾浸湿面积随航速增加迅速减小；单体船和双体船的方尾浸湿面积结果相 近，表明片体间距对船体方尾浸湿面积比的影响不 大； F Tr ≈2.57时，浸湿面积降至0，此时船舶尾板 呈现脱水状态。

　　图12和图13是采用H-H公式、Doctors公式和 CFD方法计算得到的NPL3b单体船与双体船在不同 航速下的方尾通气参数结果对比，图中 Nfit 为参数 个数。由图中可知：相较于H-H公式的计算结果， Doctors公式计算的通气参数与CFD结果比较吻合； 不同参数的Doctors公式对计算结果有一定的影响； F Tr >1.75时，H-H公式结果和CFD结果间存在明显 偏差；基于CFD数值模拟的一维与二维通气计算方 法对 * F Tr 的预报存在细微偏差；Doctors公式确定的 * F Tr ≈2.59与CFD方法计算的临界值一致。

　　2.3 改进的方尾自由面条件

　　针对中高速船舶方尾流动问题，前文补充了方 尾自由面条件后的高阶面元法可以很好地处理尾 板脱水情况下的移动兴波计算。对于尾板浸水（部 分通气）的情况，方尾的吃水随航速变化，在尾部 脱水之前还需考虑其影响修正。

本节基于方尾自由面条件结合4参数Doctors公式，提出了一种同时适 用于尾板入水与尾板脱水情况的改进方尾自由面 条件。

　　修正后方尾处的吃水 tr-correct z 可表示为

　　式中：ηdry-Doctors 为式(20)的4参数Doctors公式结果。 结合式(24)，改进方尾自由面边界条件为

　　2.4 渔政船数值结果

　　余建伟[23] 在上海交通大学拖曳水池开展了某渔 政船的船模静水阻力试验，水池长为110 m，宽为6 m， 深为3 m。拖车稳定速度最高为6 m/s，试验时水池 水温为8°C。

　　船模采用木制，缩尺比为1:20，其主尺度如表3 所示，横剖线图见图14。

　　渔政船为典型的方尾船型，同时具有球鼻艏与 外飘船首。图15给出了渔政船船模与静水拖曳试验 设备，拖曳试验中船模固定。根据相当平板公式 （ITTC-1957）获得摩擦阻力系数，采用三因次换算 法获得兴波阻力系数。

　　本节基于CFD数值仿真方法，结合多相流模拟 FS计算中高速排水型船舶的兴波阻力，其数值模拟 结果作为本文高阶面元法对比验证的基准。

　　图16和图17为本文采用多相流模拟、叠模流模 拟与Rankine面元法计算需要的船体网格与计算域网格。采用CFD方法进行渔政船叠模流动的模拟只 需考虑静水面以下部分，因此计算域顶部采用对称 平面边界条件。

　　图18给出了通过试验、CFD模拟和RPM获得的 渔政船兴波阻力结果的比较，高阶面元法包括添加 改进方尾条件TS和未添加方尾条件的结果。由图中 可知，本文高阶面元法计算得到的兴波阻力结果与 试验数据和CFD结果吻合良好。与试验结果相比， 采用改进方尾自由面条件的Rankine面元法相较于 不考虑方尾自由面条件的计算可以获得更好的结 果，尤其是在低速情况下。这说明，本文高阶Rankine 面元法结合改进的方尾自由面条件可以提高势流 方法的准确性。此外，CFD结果与试验值之间在低 速和高速阶段存在一定的差异。值得注意的是，试 验的兴波阻力系数通过1+k方法获得[24] ，渔政船的 形状因子k=0.096，这种方法一般只适用于低航速船 舶的处理。CFD方法采用叠模结果获取渔政船k，其 与试验结果的对比如图19所示，1+k方法与CFD结 果得到的形状因子基本一致。在CFD叠模流模拟 中，仅考虑平均浸湿船体表面以确定阻力结果，这 与多相流动模拟过程中的兴波波面存在一定的差异。

　　图20为Rankine面元法和CFD方法计算的总阻 力及试验测量值的对比。在整个速度范围内，相比于 试验结果，RPM和CFD方法获得的总阻力结果平均 误差分别为6.6%和2.94%。高阶面元法计算得到的 总阻力与CFD结果、试验数据呈现出良好的一致性， 表明本文开发的Rankine面元法具有良好的准确性。

　　图21是采用RPM和CFD方法获得的渔政船在 不同航速下移动兴波波形结果的对比。从图中可以 看出：本文Rankine面元法计算的兴波结果和CFD模 拟结果相近，对比波峰和波谷的位置显示2种方法 计算结果的良好一致性。船首周围的波形及波系仍存在比较明显的差异，这主要源于本文采用线性化 的自由面条件，而在高航速阶段无法考虑非线性因 素的影响。

　　3 结 论

　　本文针对中高速排水型船舶移动兴波与阻力 问题，基于九节点高阶面元的Rankine源数值计算方 法，采用源面抬升方法去除奇异性积分，采用施加 方尾自由面条件处理手段模拟方尾流动的影响，并 基于此自主开发了相应的数值计算程序。主要结论 如下：

　　（1）基于Rankine面元法，结合方尾自由面条 件，本文计算了DTMB5365船的移动兴波，并与CFD 方法获得的尾流波切、鸡尾流高度和兴波波形结果 进行了对比，两者结果基本吻合。

　　（2）采用H-H方法、Doctors公式与CFD方法研 究了NPL3b单体船与双体船的方尾通气特性，发现： 相较于H-H公式计算结果，Doctors公式计算的通气 参数与CFD结果较为吻合；Doctors公式确定的临界 吃水弗劳德数约为2.5，与CFD方法计算结果一致。

　　（3）基于高阶Rankine面元法，结合4参数 Doctors公式，本文提出了一种同时适用于尾板入水 与尾板脱水情况的改进方尾自由面条件。以某渔政 船为例，对比本方法计算结果、CFD方法计算的阻 力结果和模型试验结果，验证了该改进方尾自由面 条件的准确性与可靠性。