岩土力学杂志已发表格式范文参考
1.基于多元概率分布的土体硬化模型参数预测
作者：陶袁钦,潘孙珏徐,孙宏磊,聂艳侠
作者单位：浙江工业大学;浙江省工程结构与防灾减灾技术研究重点实验室;中建一局集团发展有限公司
关键词：土体硬化模型;土性参数;数据库;多元概率分布;贝叶斯更新
摘 要：针对工程实际中土体硬化（hardening soil，简称 HS）模型参数取值难的问题，建立了 HS 模型参数数据库 HS-CLAY/9/196，并基于该数据库构建了 HS 参数的多元概率分布模型；通过易获得的常见土性参数测试数据更新难获得的 HS 参数的概率分布，并研究了已知测试数据类型及类型量对 HS 参数更新的影响，提出了给定测试数据下 HS 参数（参考切 线模量 ref Eoed 、参考剪切模量 ref E50 和参考加卸载模量 ref Eur ）的概率转换模型。结果表明：所建立的 HS 参数多元概率分布模型 有效表征了 HS 参数的统计特征和互相关性；基于该多元概率分布模型，可通过贝叶斯更新综合利用多种土性参数测试数据， 提高 HS 参数预测的准确性，预测不确定性随着已知测量数据类型量的增加而降低；在估计 HS 参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 时， 应优先考虑收集压缩模量 Es1 2- 、含水率 w 和孔隙比 e 等与目标参数具有强相关性的测试数据。
1 引 言
随着城市各类基础设施的建设和发展，基坑开 挖工程周围环境日益复杂，基坑变形控制要求愈发 严格[1-2]。数值模拟因其能考虑地层变化、基坑不规 则形状、邻近建筑物影响和多种边界条件等现实复 杂因素，已成为基坑工程变形分析中最有效和广泛 使用的方法[3]。
数值分析方法的关键之一是选择合适的土体本 构模型，并确定合理的土性参数。土体硬化（hardening soil，简称 HS）本构模型[4]具有可考虑土体剪胀性、 剪切硬化和压缩硬化特性、适用于描述软土等多种 土类等优点，能同时给出合理的基坑墙体侧移和墙 后沉降计算结果，被广泛应用于软土地区的基坑工 程的变形分析[5-7]。HS 模型涉及参数多达 11 个，包 括 7 个刚度参数（参考围压 ref p 、参考切线模量 ref Eoed 、 参考剪切模量 ref E50 、参考加卸载模量 ref Eur 、加卸载 泊松比ν ur 、初始静止侧压力系数 K0 、刚度应力水 平相关幂指数 m）和 4 个强度参数（有效黏聚力c' 、 有效内摩擦角φ' 、剪胀角ψ 和破坏比 Rf ）。其中部 分参数（如 ref E50 和 ref Eur ）取值较为困难，需开展高 精度、长周期的室内试验进行测试[8]。常规地勘报 告普遍不具备这些参数的测试数据，需通过其他常 见土性参数转换而来[9]。
软土地区地基主要由黏土组成，现有研究通过 室内试验，测定了不同国家和地区黏土的 HS 模型 参数取值，如泰国曼谷[10]、越南胡志明[11]、中国上 海[3, 12-13]、中国杭州[14-15]和中国台北[16]等。基于室 内试验数据，国内外学者提出了 HS 参数的多种转 换模型。例如，顾晓强等[9]通过上海黏土的大量测 试数据，提出了多个 HS 参数（ ref Eoed 、 ref E50 、 ref Eur 、 φ' 和 Rf ）和孔隙比 e 的转换模型；王晓武等[17]针 对江苏黏土给出了 HS 参数（ ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur ）和 初始孔隙比 0 e 的经验转换模型；罗敏敏等[8]整理总 结了全球不同地区黏土压缩模量 Es1-2、 ref Eoed 、 ref E50 、 ref Eur 之间的比例关系。这些研究为 HS 参数取值提 供了重要参考。然而，上述转换模型均为双变量间 的转换模型，通过输入一个易获得的土性参数的测 量值得到一个 HS 参数的估计值。土性参数本质上 受多元参数的影响，上述双变量转换模型仅保留了 与目标参数相关性最强的参数[18]，忽略了目标参数 和多个土性参数之间的互相关性；当勘察报告里提 供了其他多种土性参数的测试值时，也无法将其输 入到转换模型中，无益于估计目标 HS 参数，造成 勘察信息的浪费。此外，这些转换模型所采用的经 验公式形式，只能获得 HS 参数的确定性的单一估 计值，不能提供估计值本身的不确定性大小。
多元概率分布是一种可考虑多种土性参数间互 相关性的概率模型。与传统双变量的经验转换模型 不同，该模型能充分利用所有相关土性参数的信息， 在估计目标参数的同时，评估参数的不确定性。 Ching 等[19]基于全球黏土数据库 CLAY/10/7490 建 立了包含黏土液限、塑性指数、液性指数、抗剪强 度、灵敏度和超固结比等 10 种物理力学性质的多元 参数概率分布模型。邹海峰[20]建立了包含归一化锥 尖阻力、不排水抗剪强度比、超固结比和灵敏度等 7 种软弱土性质参数的多元概率分布模型，并推导 出了给定孔压静力触探试验测试数据时不排水抗剪 强度比的概率转换模型。Pan 等[21]基于深圳黏土参 数数据库建立了多元概率分布模型，结合易获得的 孔隙比和液塑限等物理性质参数，预测了相对难获 得的压缩模量。上述研究中的数据库主要由勘察报 告中的土性参数构成，以此建立的多元分布模型旨 在估计不排水抗剪强度和压缩模量等常见力学参 数，无法用于分析 HS 参数。已有研究表明，HS 模 型参数中 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 的取值对基坑变形预测 具有重要影响[22]，而目前尚缺乏可靠的 HS 参数预 测模型，也缺乏足以支撑统计分析的数据量。
基于此，本文从 70 篇国内外文献[3, 10-17, 23- 83]收集整理了包含 HS 参数的多元土性参数数据， 建立了 HS 参数黏土数据库 HS-CLAY/9/196（9 种 土性参数，196 条数据）；基于该数据库，构建了针 对软土地区黏土的 HS 参数多元概率分布模型，通 过贝叶斯方法结合地勘报告中常见的土性参数，更 新了 HS 模型参数的概率分布。在此基础上，讨论 了土性参数测量数据的种类对 HS 参数预测的影 响，并总结了给定测试数据种类时 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 的概率转换模型，为 HS 参数的取值提供了参考。
2 土体硬化本构模型 HS 参数数据库
土体硬化本构模型的 11 个参数可通过室内试验 确定。然而，在实际工程中 ref p 、K0 、ψ 、m 和ν ur 这 5 个 HS 参数的取值一般不进行室内试验，而是直 接采用已有的常用取值方法： ref p 设定为 100 kPa[84]； K0 可通过 0 K =1 sin - φ' 计算得到[85]；对于黏土，ψ 一般取 0[86]，m 取 0.5～1.0[87]或参考 Plaxis 手册的 建议取 0.5[84]；ν ur 的取值为 0.15～0.40，粉质黏土 一般取 0.25～0.30[88]。目前的研究大多集中于通过 室内试验测定其他 6 个 HS 参数 ref Eoed 、 ref E50 、 ref Eur 、 c' 、φ' 和 Rf 。本文从文献[3, 10-17, 23-83]中收集总结了多个国家和地区的 HS 模型参数室内试验数 据，共计 196 条黏土土性数据，涉及到的土性参数 主要包括：2 个物理性质参数为含水率 w、孔隙比 e， 4 个刚度参数为压缩模量 Es1 2- 、参考切线模量 ref Eoed 、 参考剪切模量 ref E50 、参考加卸载模量 ref Eur ，3 个强 度参数为有效黏聚力c' 、有效内摩擦角 φ′、破坏比 Rf 。参考国际土力学和岩土工程学会风险评估与管 理技术委员会 TC304 数据库[19, 89]的命名规则，将该 数据库命名为 HS-CLAY/9/196，“HS”表示土体硬化 模型，“CLAY”表示黏土，“9”和“196”分别表示 土性参数种类和数据量。
表 1 显示了 HS-CLAY/9/196 数据库的基本统计 信息。表 1 中大部分参数的变异系数大于 30%，其 中 c′、 ref Eoed 和 ref E50 的变异系数分别高达 106.60%、 104.27%和 223.55%。通常对于同一土样， ref Eur 实测 值大于 ref E50 的实测值，而在表 1 中， ref Eur 的最大值 却显著小于 ref E50 的最大值。这是因为在 ref E50 最大值 （178.50 MPa）的来源文献[36]中，没有对 ref Eur 进行 室内试验测定，其他参数数据的缺失可能导致 ref E50 的变异系数（223.55%）显著高于其他参数的变异 系数。在去掉来自该文献[36]的两组数据后，c′、 ref Eoed 和 ref E50 的变异系数分别降为 77.55%、87.67%和 107.53%，仍具有较大的变异性。图 1 对比了全球 黏土数据库 CLAY-Cc/6/6203[90]、上海黏土数据库 SH-CLAY/11/4051[91]和 HS 黏土数据库 HS-CLAY/ 9/196 中的 w 和 e 数据。由于 SH-CLAY/11/4051 数 据库不包含 w 的测试数据，因此图 1(a)中仅有 CLAY-Cc/6/6203 和 HS-CLAY/9/196 两个数据库。从 图 1 中可以看出，HS 黏土数据库的数据离散程度 介于上海黏土数据库和全球黏土数据库之间。HS 数据库和上海数据库孔隙比 e 的数据分布相近，且 两个数据库的数据分布均较全球数据库显著集中， 所有数据均落在全球数据库的上边缘和下边缘之 间。由于 HS 本构模型在预测软土地区基坑开挖变 形时具有明显的优势，目前的 HS 参数研究大多基 于沿海软土地区的黏土展开，因此 HS 数据库所覆 盖土类较全球数据库更少，数据分布更为集中。表 2 列出了任意两个土性参数组成的数据对的数量，其 中对角线表示某一土性参数的数据量。可以看出， 所建立的多元参数数据库中存在缺失值，即一条数 据记录不同时具备 9 个参数值。这是因为出于研究 目的或受到试验条件的限制，科学研究和工程应用 中常仅对部分土性参数进行了试验测定，另一部分 土性参数未知。传统的转换模型要求完整的数据才 能建立起输入和输出间的关系，无法处理实际数据 中常见的数据缺失现象。
因此，有必要建立可考虑缺失值的多元概率分布模型，在数据缺失情况下合 理预测土性参数。
由于 HS 数据库中的土性参数值为非负数，因 此将其取对数以便分析，并采用Yi 来表示，Y 表示 数据库中土性参数，i 为参数编号，i = 1, 2, …, 9， 则Y1 = lnw ， 2 Y e = ln ， 3 s1 2 Y E ln = - ， ref 4 oed Y E = ln ， Y5 = ref 50 ln E ， Y6 = ref ur ln E ， 7 Y c = ln ' ， 8 Y = lnφ' 和 9 f Y R = ln 。其中，由于c' 的实测数据存在 0，因此， 在对数化时，将为 0 的c' 实测值调整为 0.01 kPa。各 参数的直方图如图 2 所示。
3 HS 参数的多元概率分布模型
3.1 约翰逊分布族
多元正态分布因其理论上的优势，如可得到条 件概率解析解，可由均值向量和协方差矩阵来完全 表征，且模拟效率高，常用于模拟多元参数的概率 分布[92]。然而，许多土性参数本身不直接服从正态 分布。可采用约翰逊分布族模拟非正态的土性参数Yi 的边缘分布，该分布族可通过解析式将非正态的 土性参数Yi 转换为服从标准正态分布的随机变量 Xi [19, 93]，从而满足建立多元正态分布模型的前提条 件。
约翰逊分布族包含无界分布 SU、有界分布 SB 和对数正态分布 SL 三类，转换模型如下：
式中： Xi a 、 Xi b 、 Yi a 、 Yi b 为数据库中第 i 个土性参 数的约翰逊分布参数。约翰逊分布族的概率分布及 其分布参数可通过 Slifker 等[94]提出的基于百分位 的方法[95]确定。标准正态随机变量 Xi 转换回原始土 性参数Yi 的逆转换模型为
在拟合实际数据时，需对转换后的随机变量 Xi 进行正态性检测，如 Kolmogorov- Smirnov（K-S） 检验，根据计算所得概率 p 值来判断正态性假设的 正确性。p 值表示在原假设（即转换后随机变量 Xi 符合标准正态分布）为真的条件下，得到当前观测 结果或更极端结果的概率。若 p < 0.05，则表示有 足够的证据拒绝原假设，认为 Xi 不符合标准正态分 布；反之，表明数据与原假设的一致性较好，可接 受数据符合标准正态分布。
表 3 列出了土性参数Y1 ~Y9 的约翰逊分布类型、 分布参数和 K-S 检验结果。各土性参数的 p 值均大 于 0.05，说明转换后的随机变量服从标准正态分布。 图 2 中的实线表示了各参数的约翰逊拟合概率密度 曲线，可以看出拟合曲线基本吻合土性参数直方图。 转换后的各随机变量两两间的散点图如图 3 所示。 从图 3 中可以看出，X1 ~ X6这 6 个随机变量之间存 在显著的互相关性，支撑了现有的 HS 参数双变量转换模型的合理性，如 e 和 ref Eoed 之间的转换模型[9]， 但现有双变量转换模型仅考虑了与目标参数 ref Eoed 强 相关的单个土性参数 e，没有考虑其他强相关的土 性参数（如 w 和 Es1 2- ）。有必要通过多元概率分布 考虑多元土性参数之间的互相关性，进一步改善 HS 参数估计。
3.2 多元分布模型
多元正态概率密度函数表达式为
式中：n 为随机变量的个数，在本文中n = 9；多元 随机变量 T 12 9 X = [ , , , ] X X X … ；μ 和 C 分别为 X 的 均值列向量和协方差矩阵。转换后的随机变量 1 X , 2 9 X X , , … 均服从标准正态分布，因此，μ 为零向量， 协方差矩阵 C 即为互相关矩阵，且有
式中：σ Xi 表示随机变量 Xi 的标准差；ρij 为随机变 量 Xi 和 X j 的互相关系数，i 和 j 为数据库中土性参 数的编号，1≤i≤9，1≤j≤9，i ≠ j。用如图 3 所示 每对参数（ Xi ， X j ）的实测数据可方便地计算得到互相关系数 ρij 。然而，这种方法得到的互相关矩 阵会出现无效的非正定情况，无法模拟多元正态分 布。此外，当样本量（即表 2 中两两数据对的数据 量）有限时，互相关系数 ρij 会存在显著的统计不确 定性[91]。为了得到正定的协方差矩阵，此处采用 Ching 等提出[19]的正定矩阵生成方法，具体步骤如 下：
（1）通过 Bootstrap 采样法[96]，对每个互相关系 数 ρij 抽样生成 10 000 个样本；
（2）从每个互相关系数的 95%置信区间中随机 选择一个样本，构成一个互相关矩阵；
（3）若生成互相关矩阵为正定矩阵，则接受该 矩阵；若为非正定矩阵，则拒绝该矩阵，并重复步 骤 2，直至生成正定的互相关矩阵；
（4）重复步骤 2 和 3，直至生成 1 000 个正定的 互相关矩阵；
（5）计算 1 000 个互相关矩阵的平均值，得到 最终的协方差矩阵 C。
基于上述方法，对互相关系数 ρij 进行抽样，样 本 95%置信区间、中值以及 C 矩阵如表 4 所示，表 中上三角部分的第一行方括号表示样本的95%置信 区间，第 2 行表示中值，下三角部分的数据表示 C 矩阵中的互相关系数。基于 Evans[97]的分类标准，将 参数的互相关性程度 ρ 分为极强（ ρ ≥ 0.8）、强 （0.8> ρ ≥ 0.6）、中等（0.6> ρ ≥ 0.4）、弱（0.4> ρ ≥ 0.2）和极弱（ ρ < 0.2）5 个等级。
从表 4 中可以看出， X1 ～ X6这 6 个随机变量间 的互相关系数的中值均大于 0.60，互相关性强，而 X7 、 X8 和 X9 这 3 个随机变量与其他随机变量之间 互相关系数的中值基本小于 0.40，互相关性均弱。此 外，表中部分互相关系数的 95%置信区间范围较大， 如（ X1 ， X7 ）和（ X1 ， X9 ），这是因为数据量小 （分别为 63 和 66 组）而引起的较大统计不确定性。
3.3 模型验证
为了验证所建立的 HS 参数多元概率分布模 型，图 4 对比了实测数据和基于多元概率分布模型 生成的模拟数据。图 4 中的 1 000 个模拟数据首先 基于多元标准正态分布（均值向量为零向量，协方 差矩阵见表 4）随机抽样生成，然后通过式（2）中 的约翰逊逆变换转换为非正态的土性参数。图 4(a)～4(d)分别为 Y2 = lne 与 Y3 =lnEs1-2、Y4 =ln ref Eoed 、 Y5 =ln ref E50 、Y6 =ln ref Eur 之间的模拟数据和实测数据 散点图。可见模拟数据基本覆盖实测数据，两者具 有相同的变化趋势，吻合程度好，说明所建立的 HS 参数多元概率分布模型可以准确地表征多个 HS 参 数之间的相关性。
4 基于贝叶斯更新的 HS 参数预测
在实际工程中，尤其是常见的中小型工程，测 点数量往往十分有限，且一个测点普遍只测试了少 数几种土性参数，不同时具备所有土性参数值，即 多元土性参数中含有缺失值。为了利用有限且包含 缺失值的目标场地数据，可以将基于 HS-CLAY/9/ 196 建立的多元概率分布模型作为先验分布，通过 贝叶斯方法结合目标场地的有限数据，更新得到目 标场地土性参数的后验分布，为设计参数的合理取 值提供依据。
常规地勘报告往往不具备 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 等 对基坑变形预测具有重要影响的 HS 参数；而物理 性质参数（以孔隙比 e 为例）的测试数据相较于 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 可更为容易地获得，且 e 的变异 系数显著小于 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 。如果已有参数与 异系数有助于降低目标参数预测的不确定性[98]。因 此可利用 e 的实测数据，更新 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 的 概率分布，降低参数预测的不确定性。具体地，当 测试获得 e 的数据时，有已知数据集
表示。由于多元正态分布的共轭性，在给 定测试数据 X2 的情况下，X1 的条件分布仍为正态分 布[19]，其具有以下均值向量 1 μ ' 和协方差矩阵 11 C '：
式中：上标“′”表示更新后的参数； μ1 和 μ2 均为 零向量；C11、C12 、C21 和C22 为协方差矩阵 C 的 子矩阵：
4.1 工程应用
选取宁波某工程的 6 组测试数据[99]来阐述和 验证所述 HS 参数预测方法，该数据不包含在 HSCLAY/9/196 数据库中。首先，将原数据转换为对数 形式，Y1 = lnw ， 2 Y e = ln ，Y3 = s1 2 ln E - ， ref 4 oed Y E = ln ， Y5 = ref 50 ln E ，Y6 = ref ur ln E ，Y7 = ln c'， 8 Y = lnφ'和Y9 = f ln R 。基于表 3 中各土性参数的约翰逊分布类型和 分布参数，将Y1 ~Y9 通过式（1）转换为服从正态分 布的变量 X1~ X9 ，结果如表 5 所示。根据表 5 中的 第 1 条数据，X2 = {1.05}，有式（5）中的 1 μ ' = {- 0.79, −0.82, −0.65}。结合 1 μ ' 和 11 C '，土性参数的约翰逊 分布参数可通过下式进行更新：
式中： Xi a 和 Xi b 可根据表 3 得到；μ Xi ' 和σ Xi ' 为更新 后的随机变量 Xi 的均值和标准差； Xi a' 和 Xi b' 表示更 新后约翰逊分布参数；需要注意的是， Yi a 和 Yi b 不 会被更新。对于 ref 4 oed Y E = ln ，其更新后的约翰逊分 布参数 X 4 a' 和 X 4 b' 分别为 3.408/0.66 = 5.14，[−0.831− (−0.79)]/0.66 = −0.06； Y 4 a 和 Y 4 b 仍为 2.408 和 0.687。
4.2 测试数据类型对 HS 参数预测的影响
本节研究了测试数据的类型对 HS 参数预测值 和不确定性的影响。根据表 1，参数 e、 Es1 2- 和 φ′ 的变异系数小于目标参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur ，故分 别采用 e、Es1 2- 和 φ′作为已知测试数据，更新 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 的条件分布。图 5 中，“先验分布”指 该场地没有任何测试数据时的土性参数概率分布， 由表 3 中给出的约翰逊分布类型及其分布参数绘 制；图例“Yi ”表示使用的测试数据类型；实心箭 头表示土性参数的实测值。从图 5 可见，考虑 φ′为 测试数据时得到的后验分布与先验分布无显著差 异。使用 e 和 Es1 2- 为测试数据对 HS 参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 进行更新时，预测中值均与实测值吻合较好， 不确定性较先验分布显著降低，尤其是 Es1 2- 为已知 测试数据时。结合表 4 可知，这是因为 e、 Es1 2- 与 HS 刚度参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 之间互相关性显著高 于 φ′与 HS 刚度参数的互相关性，其中 e 和参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 呈强负相关（−0.78～−0.62），Es1 2- 为强/极强正相关（0.72～0.87），φ′为弱/极弱正相关 （0.18～0.31）。因此，在预测 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 时 应优先考虑收集与之互相关性强的土性参数信息， 如 w、e 和 Es1 2- 的测试数据，从而提高目标参数预 测的准确性和降低不确定性。
4.3 测试数据种类数对 HS 参数预测的影响
相比于常用的双变量经验转换公式具有固定的 输入和输出参数，多元概率分布模型通过条件分布 估计任意参数，可灵活考虑多种土性参数为输入或 输出。本节研究了已知的测试数据种类数对 HS 参 数预测的影响。图 6 展示了当 w、(w, e)和(w, e, Es1 2- ) 参数已知时，参数 ref 6 ur Y E = ln 的预测中值和 95%置 信区间。图中对角线表示实测值与预测值完全相符， 区间下方的数字为各数据在表 5 中的编号。从图 6 中可见，所有数据点的 95%置信区间均覆盖了实测 值，预测中值和实测值吻合较好。随着已知的测试 数据类型的增加，预测中值在对角线附近轻微波动，
95%置信区间变窄，表示不确定性降低。这说明在 贝叶斯更新中，若缺少与参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 最 相关的 Es1 2- 的测试数据，仅使用易获得的物理性质 参数 w 或 e 也可获得合理的预测中值；考虑 Es1 2- 测试数据可进一步降低目标参数预测的不确定性。
4.4 HS 参数的概率转换模型
为便于实际工程中的应用，本节基于 HS 多元 概率分布模型，给出了已知不同土性参数（w、e 和 Es1 2- ）时 HS 参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 的概率转换 公式。根据表 3， ref 4 oed Y E = ln 和 ref 5 50 Y E = ln 的约翰逊 分布类型为 SB， ref 6 ur Y E = ln 的约翰逊分布类型为 SU。SB 和 SU 型的转换公式分别为
式中： Yi a 和 Yi b 的取值见表 3；目标参数更新后的约 翰逊分布参数 Xi a' 和 Xi b' 可通过式（8）、（9）确定。 式（8）和（9）中的均值μ Xi ' 和标准差σ Xi ' 可通过表 6 中总结的转换公式快速计算获得。例如，当有 e 和 Es1 2- 的测试数据时，如表 5 中的第 2 条数据 2 3 { , } X X = { 0.53,0.02} - ；参照表 6，对于目标参数 ref 5 50 Y E = ln ，均值 μ X 5 ' 和标准差σ X 5 ' 分别为−0.42× (−0.53)+0.54×(0.02) = 0.23 和 0.48；进一步地，更新 后的约翰逊分布参数 X 5 a' = 2.099/0.48 = 4.37， X 5 b' = (−1.349−0.23)/0.48 = −3.29。将 X 5 a' 、 X 5 b' 、 Y 5 a 和 Y 5 b 代入式（10），即可获得参数 ref 5 50 Y E = ln 的更 新后的概率分布。
从表 6 中可以看出，3 个 HS 参数更新后的均 值都是基于已有测试数据的函数，而标准差为常数； 均值函数中的系数为正数，表明该测试参数与目标 参数为正相关，反之为负相关。参数的不确定性（标 准差）随着已知的测试数据类型量的增加而减小； 当数据类型量相同时，考虑 Es1 2- 可获得更低的估计 不确定性。
表 6 提供了一个在实际工程中通过多元概率分 布模型来估计 HS 参数的实用工具。当给定已知土 性参数的测试值，可结合表 3 中的约翰逊分布类型 和分布参数得到其在标准正态空间下的参数值，继 而利用表 6 中的概率转换模型，得到目标 HS 参数 的概率分布。
4.5 不同转换模型的 HS 参数预测结果对比
图 7 对比了经验转换模型和 4.4 节所建立的概 率转换模型对 HS 参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 的预测结 果。图中竖线表示同时考虑 w、e 和 Es1 2- 共 3 种测 试数据的概率转换模型所得的 95%置信区间，圆点 表示预测中值；方形点为使用经验比例关系 Es1 2- : ref Eoed = 1: 0.9[100]和 Plaxis 软件[84]推荐的比例关系 ref Eoed : ref E50 : ref Eur = 1: 1: 3 得到的确定性的预测结果； 置信区间上方的数字对应表 5 中的数据编号。图 7 中的 95%置信区间均覆盖实测值，基本覆盖通过经 验比例关系得到的预测值。图 7(a)中， ref 4 oed Y E = ln 的 预测中值和通过经验比例关系得到的预测值均符合 实测值；图 7(b)、7(c)中，通过贝叶斯更新得到的 Y5 = ln ref E50 和 ref 6 ur Y E = ln 的预测中值和实测值较符 合，但基于经验比例关系的预测值存在普遍的低估。
本节中采用的 HS 参数数据来自于宁波某地区，这 说明 Es1 2- 与 ref Eoed 经验比例关系对预测宁波黏土具 有较高参考价值，但无法评估参数的不确定性； Plaxis 软件推荐的比例关系不适用于该地区黏土 ref E50 和 ref Eur 的参数取值；相较而言，多元概率分布 模型通过利用多种土性参数的实测数据来更新目标 参数的条件分布，可获得更准确的参数预测和评估 参数不确定性，但传统的经验比例关系在缺乏任何 实测数据的情况下仍可作为一种参考。
5 结 论
针对工程实际中 HS 模型参数取值困难的问 题，本文建立了黏土 HS 模型参数数据库 HS-CLAY/ 9/196，构建了适用于软土地区黏土的 HS 参数多元 概率分布模型；基于贝叶斯理论，充分利用已有测 试数据更新目标 HS 参数的条件分布，并提出了给定 测试数据下 HS 参数的概率转换模型。主要结论有：
（1）基于 HS-CLAY/9/196 数据库建立的多元概 率分布模型可以有效表征多个土性参数间的互相关 性，为估计 HS 模型参数提供了基础。
（2）HS 刚度参数 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 与压缩模量 Es1 2- 的正相关性高达 0.8 左右，与含水率 w、孔隙 比e呈强负相关，与有效黏聚力c' 、有效内摩擦角φ' 的互相关性较弱。在预测 ref Eoed 、 ref E50 和 ref Eur 时，应 优先考虑收集含水率 w、孔隙比 e 和压缩模量 Es1 2- 的测试数据。
（3）建立的 HS 参数多元概率分布模型可作为 贝叶斯更新中的先验分布，结合已有测试数据，对 目标 HS 参数进行准确预测；预测不确定性随着已 知测量数据类型量的增加而降低。
（4）与通过传统的经验比例关系估计 HS 参数 相比，多元概率分布模型可灵活考虑多种土性参数 的测试数据来得到目标 HS 参数的条件分布，得到 更为准确的参数估计值，同时量化参数估计的不确 定性。
