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1.含可移动不规则形状硬石表面的星球车 牵引性能研究
作者：黄镕敏;黄铁球
作者单位：北京交通大学
关键词：硬石⁃软土混合地形;可移动硬石;不规则形状;刚轮;牵引性能
摘要：为探究含可移动不规则形状硬石的石－壤混合表面对星球车牵引力特性的影响，提出了 一种适用于星球车在硬石－软土混合地形行驶的轮－石－壤动力学模型。 通过简化硬石轮廓形 状、提取关键形状参数，计算其长短轴比和表面曲率，将其形状拟合为多边形或椭圆。 针对形 状拟合后的硬石，基于 Ｂｅｋｋｅｒ 压力沉陷模型和朗肯土压力模型，将硬石的长短轴比和移动方 向上的推土面曲率作为硬石的形状参数，构建硬石与软土之间的动力学模型。 使用 Ｃ 语言编 写 Ａｄａｍｓ 子程序，计算硬石和刚轮的位移、受力曲线。 ３Ｄ 打印出拟合后的硬石模型，检测分 析刚轮碾压通过实际硬石和硬石模型的牵引力曲线，结果表明，两者的相对误差小于 １０％，验 证了形状拟合方法的有效性；将硬石模型实验测量的力、位移及刚轮的牵引力数据与仿真结果 比较，最大值处的相对误差小于 １５％，证明该轮⁃石⁃壤动力学模型能够准确反映刚轮的牵引力 特性。
１ 引言
人类对地外星球的探测持续升温，美国将重 启载人登月计划，中国计划于 ２０３０ 年前实现载人 登月，并进一步探索火星。 星球车作为移动巡视 探测的重要工具使用将更加频繁。 火星和月球地 表不仅仅只有地势平缓的土壤，还有岩石和土壤 混合的复杂地形，以及陨石坑、河道这类极端地 形［１］ ，星球车行走环境恶劣。 多数星球车采用的 是轮式结构，轮地接触模型的好坏直接影响星球 车的移动性能，因此准确的轮地接触理论一直是 该领域的研究重点［２］ 。
轮壤接触力学研究领域中，Ｒｅｅｃｅ ［３］ ， Ｗｏｎｇ 等［４］和 Ｂｅｋｋｅｒ ［５⁃６］ 的轮壤力学模型最为经典，构 建了与土壤参数有关的轮下压力与车轮沉陷量之 间的关系。 国内研究人员也在上述模型的基础上 发展出多种适用于不同环境下车轮行驶状态的力 学模型。 丁亮等［７⁃９］ 以 Ｂｅｋｋｅｒ 模型为基础，研究 了滑转和轮刺对车轮的沉陷和力学特性的影响， 并且推导了车轮的滑移前进模型、转向模型、侧偏 模型和前进耦合模型，预测了土壤作用于车轮的 空间力与力矩；丁昊［１０］ 研究星球车在星壤松散、 具有易滑落特性斜坡上的行驶性能和重复行驶通 过星壤时的受力变化，基于 Ｗｏｎｇ⁃Ｒｅｅｃｅ 模型发展 出单轮爬坡动力学模型和多通过下的轮壤动力学 模型；杜江山［１１］ 修正了 Ｗｏｎｇ⁃Ｒｅｅｃｅ 模型的积分 区域，得到星球车在含可移动硬石地形上行驶的 牵引力模型，并进行了仿真和试验验证。
为了预测火星土壤中岩石的形状，Ｘｉａｏ 等［１２］ 结合封闭模拟滤波（ Ｃｌｏｓｅｄ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ， ＣＳＦ）和不规则三角形网格算法，直接从由内插连 通分量标记（Ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｅｄ Ｉｒｒｅｇｕｌａｒ Ｎｅｔｗｏｒｋ， ＴＩＮ） 模型生成的密集点云中检测出 ３Ｄ 岩石，得到岩 石的长、宽、高、表面积和体积等三维形态特征，试 验表明该方法的准确率达 ９０％以上；Ｄｉ 等［１３］ 将 火星探测器图像和 ３Ｄ 点云数据结合，利用均值 漂移算法将图像分割为大目标、小目标和岩石阴 影，之后对大小岩石进行组合和拟合处理，计算出 圆度、角度、宽高比等形状特征；Ｂｏｎｎｅａｕ 等［１４］ 回 顾了岩石三维尺寸的计算方法，分别有最小二乘 椭球拟合、最小立方体拟合和球面拟合，发现不同 的尺寸计算方法对于岩石的形状分类具有重要影 响，提出了 ２ 种考虑 ３ 个正交轴的计算方法，其中 立方体分割法以及圆柱法解决了岩石的紧凑性和 棱角问题给计算带来的困难；刘兴杰等［１５］ 基于模 拟月壤力学参数模型，提出了疏松细粒类、适中块 状类、密实硬质类 ３ 种模拟火星土壤类型的力学 参数模型，为火星车牵引性能研究提供技术支持。 上述研究表明，目前已有多种有效方法能够识别 火星土壤中岩石形状，并可以提取计算其重要的 形状特征参数。
由于与星球车有关的试验在地外行星执行难 度大，且大部分轮壤接触动力学模型都以刚轮的 运动学参数作为变量，不宜直接进行数值计算，所 以在理论研究阶段大多会采用一些仿真手段来初 步验证力学模型的正确性。 翟广龙等［１６］ 和杜江 山等［１１，１７］分别建立了刚轮在混合地形行驶和刚 轮与可移动硬石的接触模型，并设计试验测试刚 轮运动数据，使用 ＭＳＣ． Ａｄａｍｓ 软件对火星车在软 土地形和混合地形中的运动状态进行动力学仿 真，对比分析仿真和试验结果，并验证了模型的 正确性。
本文提出了一种适用于低滑转率星球车在 石－壤混合地形下行驶的轮－石－壤动力学模型，旨 在研究星球车通过石－壤混合地形所需的最小牵引 力。 该石－壤混合地形中的硬石横截面为不规则形 状的可移动硬石，使用 Ｍａｔｌａｂ 对硬石轮廓进行拟 合处理，得到长轴、短轴以及表面曲率等形状参数， 使用 Ｃ 语言编写 ＭＳＣ． Ａｄａｍｓ 子程序，计算刚轮在 不同形状硬石上行驶时刚轮和硬石的受力和位移 曲线。 利用单轮土槽试验平台和装有压力传感器 和六轴加速度传感器的 ３Ｄ 打印硬石模型，测量刚 轮通过实际硬石和硬石模型过程中的牵引力，以验 证硬石形状处理方法的有效性；测量刚轮碾压硬石 模型过程中的受力和位移，与仿真结果对比分析， 以验证轮－石－壤模型的正确性。
２ 刚轮－硬石－软土模型
２. １ 硬石－软土模型
当刚轮在含有硬石的石－壤混合地形上行驶 时，刚轮与硬石和软土接触，同时硬石和软土之间 也存在相互作用力。 刚轮通过石－壤混合地形的牵 引力主要来自两部分：一个是车轮与软土之间水平 方向的相互作用力；另一个是车轮与石块之间水平 方向的相互作用力。 本文将整个动力学系统分为 轮－石模型、轮－壤模型和石－壤模型进行研究。
将 Ｍａｔｌａｂ 识别的硬石图片转存为硬石轮廓 的像素坐标，为了简化硬石模型的轮廓信息，便于 构建力学模型和仿真模型，针对不规则硬石的二 维横截面，将硬石的长轴、短轴和表面曲率作为其 形状特征参数。 长轴和短轴指框住硬石轮廓的最 小矩形所对应的长和宽，曲率指硬石质心上每 ５° 间隔内对应的轮廓曲率大小。 图 １ 为硬石形状特 征提取程序流程图。 使用 Ｍａｔｌａｂ 将硬石图片转 化为二值图像，识别轮廓坐标并计算其形状参数。 然后，对硬石轮廓进行椭圆拟合和多边形拟合。 椭圆拟合使用最小二乘拟合法［１８］ ；多边形拟合计 算硬石轮廓的曲率并排序，从大到小依次选择曲 率对应的轮廓点作为多边形拟合的顶点。
利用最小二乘法计算拟合误差，多边形拟合 误差随顶点数的增加会有所减小，但是顶点数增加到一定值时，误差就不会有明显改变，将其对应 的拟合误差与椭圆拟合误差比较，选择误差较小 的拟合方式，输出拟合结果。
图 ２ 是硬石横截面 图片和拟合结果，椭圆拟合输出椭圆方程，多边形 拟合输出多边形顶点。
硬石在软土中的初始位姿如图 ３ 所示，由于 硬石自身具有重力 Ｇ，在土壤中有垂直作用于硬 石轮廓的均布力以维持自身的平衡。 图 ３ 中 θ１ 和 θ２ 表示硬石与软土表面的接触点到硬石质心 的连线与水平面的夹角。 假设土壤的表面为平 面，质心初始沉陷量为 ｚ０ ，长轴倾角为 ɑ。
根据 Ｂｅｋｋｅｒ 沉陷模型，可以计算出初始支持 力，如式（１）所示。
式中，ｐ０ 为压力沉陷函数，β 为是硬石轮廓切 线角，与 θ 有关，θ 为轮廓点相对于质心和水平线 的夹角。
硬石被刚轮碾压的过程中会受到软土的阻 力，将阻力分解为水平和垂直方向 ２ 个分力分别 建模。 Ｂｅｋｋｅｒ ［１９］ 土壤压力沉陷试验和剪切试验
研究发现，任何一个在土壤中运动的物体都同时 受到软土的正应力和剪切应力的作用，以此来构 建硬石－软土模型。
对于硬石在水平方向的软土阻力，使用朗肯 土压力理论［２０］计算硬石推土面受到的正应力，考 虑到硬石轮廓为不规则形状，通过增加形状修正 系数来修正硬石推土面形状对正应力大小的影 响，如式（２）所示。
式中， Ｆｘ０ 为硬石在静止时受到的主动土压 力， Ｓσ 为土壤正应力作用面积， ｐｘ 为土单元在临 界破坏状态下的应力，ｃｓ 为土壤内聚力， Ｋｐ 为被 动土压力系数， τｘ 为土壤剪应力， Ｓτ 为土壤剪应 力作用面积， Ｆｃｘ 为刚轮和硬石接触力的水平分 量。 修正系数 Ａ 是与硬石形状和位姿有关的函 数，如式（３）所示。
式中， ａ 为比例系数，Ｓ 为硬石短轴，Ｌ 为硬石 长轴， ρＡ 为硬石水平方向上推土面的曲率平 均值。
软土对硬石的支持力由形状修正系数修正后 的 Ｂｅｋｋｅｒ 模型计算，如式（４）所示。
式中， ｋｅｑ 为软土的等效刚度， Ｆｃｚ 为刚轮和硬 石接触力的垂直分量， Ｓσ 和 Ｓτ 分别表示硬石在 受刚轮碾压下沉过程中的竖直方向投影面积和水 平方向投影面积，ｅ 为土壤变形指数，ｚ 为硬石质 心沉陷量。 修正系数 Ｂ 是与硬石形状和位姿有 关的函数，见式（５）。
式中，ｂ 为比例系数， ρＢ 为硬石垂直方向上 的推土面曲率平均值。
硬石在 ｘ－ｚ 平面内的阻力矩由含形状修正系 数的弹簧阻尼模型计算，如式（６）所示，形状修正 系数 Ｃ 与硬石形状和位姿的关系式见式（７）。
式（６）中， θ 为硬石移动过程中的角位移， ｃｍ 为旋转方向的阻尼系数。 式（７） 中， ｃ 为比例系 数， ρ － Ｃ 为硬石轮廓的平均曲率。
２. ２ 刚轮－软土模型
刚轮与软土接触受力分析如图 ４ 所示，图中 Ｗ 为刚轮载荷， ＦＤＰ 为挂钩牵引力， Ｍｗ 为转动阻 力矩， θ１ 、θ２ 、θｍ 分别为进入角、离去角和最大应 力角， ｚ１ 为刚轮沉陷量， ｚ２ 为软土反弹量。
刚轮与软土的相互作用力由 Ｗｏｎｇ⁃Ｒｅｅｃｅ 模 型计算，如式（８）所示。
式中，ｂ 为刚轮宽度，ｒ 为刚轮半径， σ（θ） 为 土壤正应力， τ（θ） 为土壤剪应力，土壤正应力和 剪应力计算式见式（９）和（１０）。
式中， σ１ 和 σ２ 分别表示进入角 θ１ 和离去角 θ２ 区域对应的正应力，Ｎ 为土壤变形指数， ｋｃ 为 土壤内聚变形模量， ｋφ 为土壤剪切变形模量，ｊ 为 剪切位移，Ｋ 为剪切变形模量。
２. ３ 刚轮－硬石模型
图 ５ 所示为刚轮在硬石－软土混合地形下的 接触受力分析。
刚轮与硬石之间的接触为碰撞接触，使用 Ａｄａｍｓ 自带的 ＩＭＰＡＣＴ 碰撞接触模型计算［２１］ ，如 式（１１）、（１２）所示。
式中， Ｆｎ 为碰撞物体之间的法向力，Ｋ 为刚 度系数， δ 为接触点的法向切入深度，ｅ 为碰撞力 指数，ｓｔｅｐ（）为三次多项式逼近海维赛阶梯函数， Ｃ 为阻尼系数，Ｄｍａｘ 为设定最大切入深度。
３ 仿真及试验验证
为验证轮－石－壤模型的正确性，在 Ａｄａｍｓ 软 件中搭建单轮仿真平台，模拟车轮在石－壤混合地 形上行驶的动力学特性，在土槽测试系统中，检测 车轮的实际动力学参数变化，对比分析刚轮和硬石 动力学参数的模型计算结果和试验检测结果。
３. １ 单轮仿真平台
使用 Ｃ 语言对 Ａｄａｍｓ 的六向力／ 力矩进行二 次开发，其框架如图 ６ 所示。 使用窗口函数 ＧＦｏｓｕｂ 获得仿真过程中物体的位移、速度、加速度等运动 状态参数，并且将模型计算结果反馈给 Ａｄａｍｓ 的 六向力／ 力矩单位，从而实现仿真过程的连续性。
根据 Ｍａｔｌａｂ 计算得到的硬石轮廓拟合结果， 在 Ａｄａｍｓ 中建立刚轮和硬石的三维模型，如图 ７ 所示。 红色为刚轮，黄色为硬石，通过 Ｍｏｔｉｏｎ 单元控制刚轮以固定滑转率移动，在硬石和刚轮质 心上分别添加六向力单元，将硬石和刚轮的 ＩＤ 号 输入子程序中，用于获取其运动学参数和辨别计 算结果的输出对象，再通过 ｔｘｔ 文件输入硬石和软 土参数，分别计算轮－壤作用力和石－壤作用力， 将模型力的大小分别输出至硬石或刚轮的六向力 单元，直到设定的结束时间停止仿真，总程序流程 图见图 ８。
轮壤接触模型分为 ３ 个子系统：轮－石子系 统、轮－壤子系统和石－壤子系统。 其中，轮－石子 系统的接触模型用 Ａｄａｍｓ 自带的 Ｉｍｐａｃｔ 函数进 行计算，该函数可以根据刚轮和硬石的相对位置 自动计算出接触点力与力矩的大小，因此只需要 调整该模块的参数，使碰撞接触力保持连续和稳 定即可。 在刚轮和硬石之间添加碰撞接触单元， 调整参数使刚轮能够稳定通过固定硬石，具体参 数设置见表 １。
对于轮－壤子系统和石－壤子系统的仿真需要 编程求解。 求解轮－壤作用力，首先要计算轮石轮 廓交点，若有交点则轮石接触，否则轮石不接触；然 后对轮壤接触区域进行积分，如图 ９（ａ）所示。
计算石－壤作用力，首先要判断石块的拟合 方式；然后读取硬石的椭圆方程系数或多边形顶 点，根据 Ａｄａｍｓ 反馈的硬石移动和转动位移更新 硬石的轮廓位置；最后求解形状修正系数，并计算 模型力，如图 ９（ｂ）所示。
３. ２ 试验设备
单轮土槽测试平台包括刚轮、牵引装置、载荷 调节装置和刚轮驱动装置等（图 １０）。 牵引装置 控制刚轮以恒定的方向和速度前进；载荷调节装 置用于调整作用于刚轮上的载荷；刚轮驱动装置 控制刚轮的转向和转速。 通过设定刚轮的前进速 度和转动速度可实现刚轮以一定滑转率在软土上 行驶。 该试验平台通过测量牵引电机的功率和转速，
利用功率扭矩公式计算出牵引电机扭矩后，除 以牵引齿形轮半径，即可得到牵引力大小，如式 （１３）所示。
式中，Ｐ１ 为电机功率，ｎ１ 为电机转速，ｒ 为带 轮半径。
为验证硬石在刚轮作用下的力和位移关系， 需测量在刚轮运行过程中硬石的受力和对应的位 移大小，因此制作了一个表面贴有 ８ 个薄膜压力 传感器，内部装有六轴（加） 速度传感器模块的 ３Ｄ 打印硬石模型，通过拟合实际硬石横截面轮廓 得到该硬石模型的横截面形状。 表 ２ 和表 ３ 为 ＦＳＲ４０２ 薄膜压力传感器和六轴（加）速度传感器 的相关参数。 如图 １１ 所示，硬石模型横截面为椭 圆形，长轴为 ９. ２ ｃｍ，短轴为 ７. ９ ｃｍ，薄膜压力传 感器均布在模型表面，六轴（加）速度传感器安装 在模型中心轴上。 使用 Ａｒｄｕｉｎｏ 作为开发板处理 传感器收集到的数据，在试验过程中将开发板连 接到电脑记录数据。
试验 条 件 如 下： 刚 轮 直 径 为 ３０ ｃｍ， 宽 度 为 １４ ｃｍ，刚轮速度为 ０. ０１ ｍ ／ ｓ，滑转率为 ０. ２，试 验土壤参数如表 ４ 所示。 其中，ｎ 为土壤变形指 数。 分别将实际硬石和硬石模型无初速度静置 于离刚轮起始位置至少 ５０ ｃｍ 远的软土表面。 刚轮行驶一定距离后运动状态趋于稳定，压过 硬石模型时各运动参数开始改变，从刚轮开始 运动到结束期间，记录刚轮的运行时间、牵引电 机功率、硬石模型的位移和受力数据，每组试验 均为多次测量取平均值。
３. ３ 仿真及试验结果分析
３. ３. １ 硬石形状拟合方法验证分析
为了验证硬石形状拟合方法的有效性，在刚轮载荷分别为 １２ ｋｇ、１４. ５ ｋｇ 和 １７ ｋｇ 的条 件下，对比分析刚轮通过实际硬石和拟合后的 硬石模型过程中的牵引力。 图 １２ 为刚轮在 ３ 种载荷作用下，分别行驶过软土地形、含硬石 地形和含硬石模型地形时牵引力的变化曲线。 分析发现，刚轮通过硬石模型与通过实际硬石 过程中的牵引力变化基本一致，除了刚轮和硬 石接触前后牵引力曲线的抖动外，３ 种载荷下 刚轮通过硬石和模型期间最大的误差分别为 ７. ６９％、９. ３７％和 ８. １２％。 即本文中使用的硬 石形状拟合方法不会对轮－石－壤之间的相互 作用产生过大的影响，拟合后的硬石模型能够 复现出实际硬石的运动状态。
３. ３. ２ 石－壤模型验证分析
由于刚轮在碾压硬石之前和碾压过硬石之后 只与软土接触，因此只截取刚轮碾压通过硬石过 程中的数据进行分析。 图 １３、图 １４ 为 ３ 种载荷 下硬石的仿真和试验测试的受力和位移曲线。 六 轴传感器位移计算精度为 １６ ３８４ ＬＳＢ ／ ｇ，即 ３ ｍｓ 内可检测到的最小位移为 ０. ０６ ｃｍ，分析误差时 忽略过大毛刺。 受硬石减速运动状态的影响，压 力传感器与土壤之间没有充分接触，因此检测到 的压力会减小，在受力曲线上表现为部分时段压力减小，对应时段内也没有产生新的位移，如图 １３（ｂ）中的 ２１０ ～ ２１５ ｓ，图 １３（ｃ）中的 ６０ ～ ６５ ｓ 会 导致较大的测量误差。
刚轮载荷为 １２ ｋｇ 时，试验和仿真的最大位 移 分 别 为 ２. ６４ ｃｍ 和 ２. ３３ ｃｍ， 相 对 误 差 为 １１. ７４％；最大阻力分别为 １９. ３ Ｎ 和 １７. ２ Ｎ，相对 误差为 １０. ８８％。 刚轮载荷 １４. ５ ｋｇ、１７ ｋｇ 时，硬 石的力与位移的变化曲线，最大位移相对误差分 别为 １２. ７９％和 ８. ５３％，最大阻力值误差分别为 ７. ２４％和 ８. ３３％。
由于硬石的位移和受力曲线模型计算结果 与试验 数 据 在 最 大 值 处 的 相 对 误 差 均 小 于 １５％，吻合度较高，可以认为该石－壤模型能够 准确地模拟计算出可移动硬石水平方向的力 与位移。
轮石壤之间的相互作用力变化最终影响到刚 轮牵引力的变化，图 １５ 为刚轮在 ３ 种载荷下仿真 与试验测得的牵引力曲线对比。 仿真计算的最大 牵引力分别为 ６７. ２４ Ｎ、１０１ Ｎ、１３２. ３ Ｎ，试验测得 的最大牵引力分别为 ６９. ８６ Ｎ、１０３. ２ Ｎ、１３５. ３ Ｎ， 最大相对误差分别为 ３. ９％，２. １８％和 ４. ３４％。 模 型计算的牵引力曲线基本能够和实际曲线吻合， 验证了轮－石－壤模型的正确性。
４ 结论
１） 本文提出了一种不规则硬石形状的处理 方法，对硬石进行椭圆拟合和多边形拟合，将拟合 误差较小的拟合方式作为硬石形状的处理方式， 并计算硬石的表面曲率和长短轴比值，用于构建 动力学模型。 对比刚轮通过实际硬石和拟合后的 硬石模型的牵引力曲线，最大误差均小于 １０％， 证明该形状处理方法是有效的。
２） 基于 Ｂｅｋｋｅｒ 压力沉陷模型和朗肯土压力 理论，构建了考虑硬石曲率和长短轴比值影响的 硬石－软土模型，使用 Ｗｏｎｇ⁃Ｒｅｅｃｅ 刚轮－软土模 型和 ＩＭＰＡＣＫ 碰撞接触模型，构建出适用于星球 车在含不规则形状可移动硬石地形下行驶的轮－ 石－壤接触模型。 编写 Ａｄａｍｓ 子程序实现单轮仿 真，可计算出刚轮和硬石的动力学状态。
３） 在硬石模型上安装薄膜压力传感器和 （加）速度传感器，测量硬石模型在刚轮作用下的 受力和位移以及刚轮的牵引力，与动力学模型仿 真计算结果对比，相对误差均小于 １５％，证明了 轮－石－壤模型的正确性。
本文构建了适用于星球车车轮在含不规则形 状硬石地形上行驶的牵引力模型，但还存在需要 进一步研究的问题，如考虑星球车车轮本身的结 构变化对轮－石－壤模型的影响。 本文中的硬石 只考虑了二维上的形状，为适应实际的应用场景， 今后还需要将研究扩展到三维形状上，并考虑硬 石的硬度、成分与车轮间相互作用力之间的影响。
